Loi faible des grands nombres

Théorème Loi faible des grands nombres

Soit \((X_1,...,X_n)\) un échantillon de  \(n\) variables aléatoires indépendantes et  \(M_n\) la variable aléatoire moyenne de cet échantillon.
Pour tout réel  \(\delta\) strictement positif, on a  \(\displaystyle \lim_{n \to + \infty} P(|M_n-E(X_1)|\geqslant \delta )=0\) .

Démonstration

On applique l'inégalité de concentration à cet échantillon :  \(P(|M_n-E(X_1)|\geqslant \delta ) \leqslant \dfrac{V(X_1)}{n\delta^2}\) .
Or, \(\displaystyle \lim _{n \to + \infty} \dfrac{V(X_1)}{n\delta^2}=0\) . De plus, \(P(|M_n-E(X_1)|\geqslant \delta ) \geqslant 0\) .
D'après le théorème des gendarmes,  on a donc \(\displaystyle \lim_{n \to + \infty} P(|M_n-E(X_1)|\geqslant \delta )=0\) .